流体力学

川の流れ・飛行機の揚力・血液循環——連続体の運動をナビエ・ストークス方程式で記述する。乱流は21世紀の未解決問題。

#流体力学#ナビエストークス方程式#ベルヌーイの定理#粘性#レイノルズ数#乱流

流れを方程式で捉える

血液・大気・海流——流体の運動は「連続体力学」として記述される。

📜ナビエとストークス（19世紀）

クロード・ナビエ（1821年）とジョージ・ストークス（1845年）が独立に粘性流体の方程式を導いた。現在まで解析解が得られない場合が多く、乱流の解析はミレニアム懸賞問題のひとつ。

∑連続の方程式

$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{v}) = 0$

非圧縮流体（ $\rho$ = const）： $\nabla \cdot \mathbf{v} = 0$

∑オイラー方程式

$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v} \cdot \nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \rho \mathbf{g}$

左辺：密度×加速度（慣性項）

右辺：圧力勾配力 + 体積力（重力など）

定常・非圧縮・非粘性の流線に沿って：

∑ベルヌーイの定理

$p + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h = \text{const}$

速度が上がると圧力が下がる——飛行機の揚力の基本原理。

粘性 $\mu$ を加えると：

∑ナビエ・ストークス方程式

$\rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}\right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{v} + \rho \mathbf{g}$

右辺第2項：粘性拡散項（粘り気による運動量拡散）

✓レイノルズ数

$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{\text{慣性力}}{\text{粘性力}}$

乱流の理論的解明はミレニアム懸賞問題（賞金100万ドル）。

📝血液循環

心臓の動脈（Re ≈ 3000-5000）：乱流が生じやすく、それが動脈硬化に関係する。スポーツ時にRe が上がり、ヒューという音（血管音）が聞こえることがある。

🌍CFD（数値流体力学）

飛行機・自動車・建築物の設計、気象予報、半導体冷却はすべてナビエ・ストークス方程式の数値計算（CFD）で行われる。1000億格子点規模のスーパーコンピュータ計算が日常的に行われている。

// quiz

Q1.ベルヌーイの定理が成立する条件はどれか？

Q2.レイノルズ数 Re の物理的意味は？

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