シュレーディンガー方程式

量子力学の中心方程式。波動関数の時間発展を記述し、水素原子のエネルギー準位を説明した20世紀最大の方程式のひとつ。

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「波の方程式」を量子に

光が波であり粒子でもあるなら、電子も粒子でありながら波ではないか——ド・ブロイの物質波仮説（1924年）からシュレーディンガーは考えた。

📜シュレーディンガー（1926年）

エルヴィン・シュレーディンガーがクリスマス休暇に方程式を書き上げた。水素原子の実験データを完璧に再現し、量子力学に数学的基盤を与えた。同年、ハイゼンベルクの行列力学と等価であることが証明された。

∑基本方程式

$i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{H}\psi = \left[-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\mathbf{r})\right]\psi$

エネルギーが確定した定常状態では：

∑定常状態の方程式

$\hat{H}\psi = E\psi$

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V(x)\psi = E\psi$

最も基本的な例：幅 $L$ の箱に閉じ込められた粒子（ $0 < x < L$ で $V=0$ 、外で $V=\infty$ ）

✓エネルギー量子化

$E_n = \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2mL^2} = \frac{n^2 h^2}{8mL^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$

エネルギーは連続でなく**飛び飛びの値（量子化）**しか取れない。

⚠ゼロ点エネルギー

$n=1$ でも $E_1 > 0$ 。粒子は静止できない！これが不確定性原理の結果。

3次元のクーロンポテンシャル $V = -e^2/4\pi\varepsilon_0 r$ で解くと：

∑水素原子のエネルギー準位

$E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2}, \quad n = 1, 2, 3, \ldots$

これがバルマーらが実験で見つけた水素スペクトルを完全に説明した。

📝光の放出

$n=3 \to n=2$ ： $\Delta E = 13.6(1/4 - 1/9) = 1.89$ eV → 波長 656 nm（赤、バルマー系列 $H\alpha$ 線）

古典的にはエネルギー不足で越えられない障壁も、量子的には波動関数が「染み出し」て通過できる。

🌍トンネル効果の応用

走査型トンネル顕微鏡（STM）・フラッシュメモリ・核融合反応（太陽の核融合）はすべてトンネル効果で動く。

// quiz

Q1.定常状態のシュレーディンガー方程式（時間非依存）はどれか？

Q2.無限深さポテンシャル井戸（幅L）のエネルギー準位はどれか？

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