ハミルトン力学

ラグランジュ力学をさらに洗練させた位相空間の力学。ポアソン括弧・正準変換・ハミルトン・ヤコビ方程式——量子力学への橋渡し。

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ラグランジュの先へ：位相空間の力学

ラグランジュ力学は $q, \dot{q}$ を使う。

ハミルトンはこれを変換：位置 $q$ と一般化運動量 $p$ を独立変数として、より対称的な形式を作った。

📜ハミルトン（1833年）

ウィリアム・ローワン・ハミルトンが光学のアナロジーから力学を再定式化。後にシュレーディンガーはこの対応を使って量子力学を構築した。

ルジャンドル変換

ラグランジアン $L(q, \dot{q}, t)$ から一般化運動量を定義：

$p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$

ハミルトニアン：

∑ハミルトニアンの定義

$H(q, p, t) = \sum_i p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t)$

通常は $H = T + V$ （全エネルギー）

正準方程式（ハミルトンの運動方程式）

∑正準方程式

$\dot{q}_i = \frac{\partial H}{\partial p_i}, \quad \dot{p}_i = -\frac{\partial H}{\partial q_i}$

2N個の1階ODE。qとpが対称的に現れる「双対な」形式。

位相空間

$(q_1, \ldots, q_N, p_1, \ldots, p_N)$ を座標とする2N次元空間。

系の状態は位相空間の1点。時間発展は軌跡として描かれる。

✓リウヴィルの定理

位相空間の流れは非圧縮：

$\frac{d\rho}{dt} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \{\rho, H\} = 0$

位相空間の体積要素は時間発展で保存される。統計力学の基礎。

ポアソン括弧

∑ポアソン括弧

$\{A, B\} = \sum_i \left(\frac{\partial A}{\partial q_i}\frac{\partial B}{\partial p_i} - \frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q_i}\right)$

物理量 A の時間発展： $\dot{A} = \{A, H\} + \frac{\partial A}{\partial t}$

保存量の条件： $\{A, H\} = 0$

量子力学との対応

⚠古典→量子の対応原理

ポアソン括弧 → 交換子（量子ブラケット）：

$\{q, p\} = 1 \quad \leftrightarrow \quad [\hat{q}, \hat{p}] = i\hbar$

ハイゼンベルクの運動方程式は古典のポアソン括弧の量子版。

🌍宇宙機の軌道計算・カオス

位相空間の軌跡で長期的な惑星軌道安定性・カオスの発生を解析できる。ポアンカレ断面図が現代カオス理論の基礎。

// quiz

確認問題

Q1.ハミルトニアン H の物理的意味は通常何か？

Q2.正準方程式（ハミルトンの運動方程式）を表す式はどれか？

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