ラグランジュ方程式

「座標を選ばない力学」の革命

ニュートン力学は F = ma がすべて。

しかし「振り子の運動方程式を書け」となると、糸の張力・法線力など拘束力が邪魔になる。

ラグランジュが示したのは、そんな拘束力を一切書かなくていい定式化だった。

ラグランジアン L とは

「エネルギーの差」を取るのが直感に反するが、これが変分原理と結びつく。

最小作用の原理

粒子が点Aから点Bに移動するとき、作用 $S = \int L \, dt$ を最小にする経路を選ぶ。

これが自然界の根本原理。

単振り子で確かめる

質量 $m$、長さ $\ell$ の振り子。角度 $\theta$ を一般化座標に選ぶ。

$T = \frac{1}{2}m\ell^2 \dot{\theta}^2, \quad V = -mg\ell\cos\theta$

$L = \frac{1}{2}m\ell^2 \dot{\theta}^2 + mg\ell\cos\theta$

ラグランジュ方程式に代入：

$m\ell^2 \ddot{\theta} + mg\ell\sin\theta = 0 \implies \ddot{\theta} = -\frac{g}{\ell}\sin\theta$

張力を一切書かずに運動方程式が得られた。

一般化運動量と保存則

これがネーターの定理の原型：対称性 → 保存則。

まとめ

• $L = T - V$（ラグランジアン）
• 最小作用の原理 → オイラー・ラグランジュ方程式
• 系に合った座標を選べる・拘束力不要
• 対称性と保存則を自然に結びつける